סעיף חשיבה -קשרים בין הפונקציה לנגזרת ולנגזרת השנייהחקירת פונקציות 571 · שיעור 80
חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571
שיעור 80: סעיף חשיבה -קשרים בין הפונקציה לנגזרת ולנגזרת השנייה
מציאת נקודות פיתול ותחומי קעירות וקשר f (x) f'(x) f" (x)
1🔵 סעיף א1: תחומי עלייה וירידה של f(x) מתוך גרף הנגזרת
2🟣 סעיף א2: תחומי קעירות כלפי מעלה (∪) וכלפי מטה (∩) לפי עלייה וירידה של f′
3🟢 סעיף ב: סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x) העובר בנקודה (a,0)
נתונה פונקציה f(x) המוגדרת בתחום x > c , b < x < c , x < b וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x). לפונקציית הנגזרת יש נקודת קיצון אחת בלבד ושלוש אסימפטוטות המאונכות לצירים: y = 0 , x = b , x = c. שיעור ה-x של נקודת הקיצון של f′(x) הוא a. הביעו את תשובותיכם באמצעות a, b ו-c אם יש צורך.
מהתחום: c > b (כי b < x < c). מהסרטוט: a > 0.
🔵 סעיף א1: תחומי עלייה וירידה של f(x) מתוך גרף הנגזרת
מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
f עולה כאשר f′ חיובית (מעל ציר x).
f יורדת כאשר f′ שלילית (מתחת לציר x).
בסרטוט: f′ מעל ציר x כש-x < b וכש-x > c, ומתחת לציר x בין b ל-c.
| x | x < b | b < x < c | x > c |
|---|---|---|---|
| f′(x) | + | − | + |
| f(x) | ↗ | ↘ | ↗ |
✅ עלייה: x > c , x < b ירידה: b < x < c
🟣 סעיף א2: תחומי קעירות כלפי מעלה (∪) וכלפי מטה (∩) לפי עלייה וירידה של f′
מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה (∪) ואת תחומי הקעירות כלפי מטה (∩) של הפונקציה f(x).
הקשר בין f′ ל-f″ הוא בדיוק כמו הקשר בין f ל-f′ (f″ היא הנגזרת של f′):
f קעורה כלפי מעלה ∪ כאשר f″ > 0, כלומר כאשר f′ עולה.
f קעורה כלפי מטה ∩ כאשר f″ < 0, כלומר כאשר f′ יורדת.
בסרטוט: f′ עולה כש-x < b ובין b ל-a, ויורדת בין a ל-c וכש-x > c.
| x | x<b | b<x<a | a<x<c | x>c |
|---|---|---|---|---|
| f′(x) | ↗ | ↗ | ↘ | ↘ |
| f″(x) | + | + | − | − |
| f(x) | ∪ | ∪ | ∩ | ∩ |
✅ ∪: b < x < a , x < b
∩: a < x < c , x > c
∩: a < x < c , x > c
🟢 סעיף ב: סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x) העובר בנקודה (a,0)
נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר בנקודה (a , 0). סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x).
נקודות החיתוך של f′ עם ציר x הן נקודות הקיצון של f – ל-f′ אין נקודות חיתוך עם ציר x, לכן ל-f אין נקודות קיצון.
מהתחום (x < b , b < x < c , x > c): ל-f אסימפטוטות אנכיות x = b ו-x = c.
על אסימפטוטה אופקית של f לא נתון דבר – בסקיצה אפשרית בוחרים y = 0.
עלייה כש-x < b וכש-x > c, ירידה בין b ל-c, והגרף עובר ב-(a , 0) כש-a > 0.
ב-x = a הקעירות מתחלפת מ-∪ ל-∩, ולכן (a , 0) היא נקודת פיתול של f.
✅ אין קיצון, (a , 0) נקודת פיתול – סקיצה כמו בסרטוט
📌 לזכור
💡 מגרף הנגזרת: מעל/מתחת לציר x ← עלייה/ירידה של f; עולה/יורדת ← קעירות ∪/∩ של f; חיתוך עם ציר x ← קיצון של f; קיצון של f′ ← נקודת פיתול של f.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא